一维波动方程的推导

原创：小原

理想流体媒质的四个假设：

（1）媒质为理想流体，即媒质不存在粘滞性，声波在这种理想媒质中传播时没有能量损耗。

（2）没有声扰动时，媒质在宏观上是静止的，即初速度为零。同时媒质是均匀的，因此媒质中静态压强 ρ₀ ，静态密度 ρ₀ 都是常数。

（3）声波传播时，媒质中稠密和系数的过程是绝热的，即媒质和毗邻部分不会由于声过程引起的温度差而产生热交换。

（4）媒质中传播是小振幅声波，各声学量都是一级微量，即：

1.声压 p 远小于媒质中静态压强 p₀ ，即 p<<p₀ ；
2.质点速度远小于声速，即 v<<c₀ ；
3.质点位移远小于声波波长，即 ξ≪λ ；
4.媒质密度增量远小于静态密度 p₀ ，即 p'<<p₀  ，或相对密度增量 S_ρ=p’/p₀≪1

声波传输基础的三个一维方程推导：

1.运动方程

设想声场中取一足够小体积元，设其体积为 Sdx ；

体积元左侧作用力为：

体积元右侧作用力为：

$$ F_2 = (p_0 + p + dp) S ,\quad dp = \frac{\partial p}{\partial x} \, dx ; $$

在方向体积元上合力为：

$$ F = F_1 – F_2 = – S \frac{\partial p}{\partial x} \, dx ; $$

该体积元内媒质质量为 ρSdx ，在合力 F  作用下得到沿 x 方向加速度 dv/dx ；可以写成如下运动方程的形式：

$$ \rho S dx \frac{dv}{dt} = – \frac{\partial p}{\partial x} S dx ; \ \rho \frac{dv}{dt} = – \frac{\partial p}{\partial x} ; $$

2.连续性方程

连续性方程实际上是质量守恒方程，即媒质中单位时间内流入体积元的质量与流出该体积元的质量之差应等于该体积元内质量的增加或减少。

单位时间内，从左侧进入体积元的质量为：(ρv)_xS;  从右侧流出体积元质量为：-(ρv)_x+dxS;  取其泰勒展开式一阶近似：

$$ – \left[ (\rho v)_x + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} dx \right] S ; $$

因此，单位时间内流入体积元净质量为：

$$ \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} S \, dx ; $$

另一方面，体积元质量增加，说明质量密度增加，即(∂ρ​/∂t)Sdx​ 

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} S \, dx ; $$

于是：

$$- \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} S dx = \frac{\partial \rho}{\partial t} S dx \Rightarrow – \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = \frac{\partial \rho}{\partial t} ; $$

3.物态方程

将压强 p  表示为密度 ρ 的函数：p=p(ρ)  ；

因而由声扰动引起的压强和密度的微小增量满足：

$$ dp=\left( \frac{dp}{d \rho} \right)_{s}d\rho $$

 ，其中  表示绝热过程；

定义：$$ c^{2}=\left( \frac{dp}{d\rho} \right)_{s} $$

由物态方程：$$ pV^{\gamma}=const $$

可以推导出：$$ \frac{p}{\left( \rho \right)^{\gamma}}=const\Rightarrow c^{2}=\frac{\gamma P}{\rho}\left( 对气体成立 \right)； $$

声波一维波动方程：

（1）由运动方程：$$ \rho\frac{dv}{dt}=-\frac{\partial p}{\partial x}，其中\rho=\rho^{0}+\rho^{‘} $$

因此带入后可得：

$$ \left( \rho^{0}+\rho^{‘} \right)\left( \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x} \right)=-\frac{\partial p}{\partial x}； $$

略过二阶以上微量：

$$ \rho_{0}\frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}。 $$

（2）由连续性方程：$$ -\frac{\partial}{\partial x}\left( \rho v \right)=\frac{\partial \rho}{\partial t} $$

代入 ρ=ρ⁰+ρ’ ，得：

$$ -\rho_{0}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial \rho^{‘} }{\partial t}； $$

（3）由物态方程：

由以上推导可以得到三个简化得线性方程：

将第三个式子对时间求导后代入第二个式子：$$ \rho_{0}\,c_{0}^{2}\,\frac{\partial v}{\partial x} = -\,\frac{\partial p}{\partial t} ; $$

继续对时间求导，得到：$$ \rho_{0}\,c_{0}^{2}\,\frac{\partial^{2} v}{\partial x\,\partial t} = -\,\frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} ; $$

代入第一个式子即得到一维线性声波方程：$$ \frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}} = \frac{1}{c_{0}^{2}}\,\frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} ; $$

注：此方程是忽略二级以上微量得到，因此称之为线性声波方程。