动圈扬声器单体的二阶振动方程推导

原创：王慕时

起始方程：

其中 M_ms为 振动质量，M_ms 为振动阻尼，M_ms 为振动顺性，i 为电路中有效电流。

方程整理后：$$ \ddot{x} + \frac{R_{ms}}{M_{ms}} \dot{x} + \frac{1}{C_{ms} M_{ms}} x = \frac{BL}{M_{ms}} i $$

$$ \quad i = \frac{V_{\text{coil}}}{Z_e} = \frac{(V_{in} – V_{emf})}{Z_e} $$

其中 V_emf=BL_x；V_in 为输入电压，V_in=V_in0e^jwc。

$$ Z_e = R_e + j \omega L_e + \frac{R_2 j \omega L_2}{R_2 + j \omega L_2} $$

令：$$\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{M_{ms}C_{ms}}}；$$

再整理下方程：

$$ \ddot{x} + \frac{R_{ms}}{M_{ms}} \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{BL}{Z_e M_{ms}} \left( V_{in} – BL \dot{x} \right)$$

$$\ddot{x} + \frac{R_{ms}}{M_{ms}} \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{BL}{Z_e M_{ms}} V_{in} – \frac{(BL)^2}{Z_e M_{ms}} \dot{x} $$

再整理下：

$$ \ddot{x} + \left( \frac{R_{ms}}{M_{ms}} + \frac{(BL)^2}{Z_e M_{ms}} \right) \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{BL}{Z_e M_{ms}} V_{in} $$

其中：

$$ \begin{cases} Q_{ms} = \omega_0 \dfrac{M_{ms}}{R_{ms}} = \dfrac{1}{R_{ms}} \sqrt{\dfrac{M_{ms}}{C_{ms}}} \\ Q_{es} = \omega_0 \dfrac{R_e M_{ms}}{(BL)^2} = \dfrac{R_e}{(BL)^2} \sqrt{\dfrac{M_{ms}}{C_{ms}}} \end{cases} $$

$$ \frac{1}{Q_{ts}} = \frac{1}{Q_{ms}} + \frac{1}{Q_{es}} $$

因此：

$$ Q_{ts} = \frac{\dfrac{1}{R_{ms}} \dfrac{R_e}{(BL)^2} \sqrt{\dfrac{M_{ms}}{C_{ms}}}}{\dfrac{1}{R_{ms}} + \dfrac{R_e}{(BL)^2}} $$

利用简化形式开始解方程：

$$ \ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q_{ts}} \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{BL}{R_e M_{ms}} V_{in} $$

$$ (-\omega^2 + j \omega \frac{\omega_0}{Q_{ts}} + \omega_0^2) X = \frac{BL}{R_e M_{ms}} V_{in} $$

因此：

$$ X = \frac{BL}{R_m M_{mx}} V_{in} \left( \frac{1}{\omega_0^2 – \omega^2 + j \frac{\omega \omega_0}{Q_t}} \right), \quad \text{位移量} $$

$$ v = j\omega X = j\omega \frac{BL}{R_m M_{mx}} V_{in} \left( \frac{1}{\omega_0^2 – \omega^2 + j \frac{\omega \omega_0}{Q_t}} \right), \quad \text{速度量} $$

$$ A = \frac{BL}{R_m M_{mx}} V_{in}
\left( \frac{-\omega^2}{\omega_0^2 – \omega^2 + j \frac{\omega \omega_0}{Q_t}} \right),
\quad \text{加速度量}$$

得到整体电学阻抗：

$$ Z_{\text{impedance}} = R_t + j \omega L_t + \frac{R_2 j \omega L_2}{R_2 + j \omega L_2} + \frac{(BL)^2}{ R_{mx} + j(\omega M_{mx} – \frac{1}{\omega C_{mx}}) } $$

考虑到声学负载引起的阻抗：

$$ Z_{\text{impedance}} = R_t + j \omega L_t + \frac{R_2 j \omega L_2}{R_2 + j \omega L_2} + \frac{(BL)^2}{ R_{mx} + j(\omega M_{mx} – \frac{1}{\omega C_{mx}}) + Z_{a-mx} } $$

其中，Z_a-ms 为换算到机械部分的声学负载阻抗。

注意：

$$ M_{mx} = M_{m0} + 2 \cdot M_r , \quad \text{只考虑简单的单体辐射情况。} $$

$$ R_{mx} = R_{m0} + 2 \cdot R_{mr} , \quad \text{只考虑简单的单体辐射情况。} $$

$$ M_r = \frac{8}{3} \rho_0 a^3, \quad \text{单面辐射附加质量。} $$

$$ R_{mr} = \frac{\rho_0 \omega^2 S_D^2}{2 \pi c}, \quad \text{单面辐射力阻。} $$

几点修正：

（1）悬挂系统Creep因子

$$ C_{mx}(f) = C_{mx}(f_0)\bigl[1 – \lambda \log_{10}\left(\frac{f}{f_0}\right)\bigr], \quad \lambda \text{ 为 creep 因子。} $$

（2）辐射阻和辐射抗

$$ \begin{cases} R_r = \rho_0 c_0 \pi a^2 R_1(2ka), \\ X_r = \rho_0 c_0 \pi a^2 X_1(2ka) \end{cases} $$

其中$$R_{1}\left( x \right)=1-\frac{2J_{1}\left( x \right)}{x} $$J₁ 为1阶贝塞尔函数；

$$X_{1}\left( x \right)=\frac{2K_{1}\left( x \right)}{x^{2}} $$K₁ 为1阶修正贝塞尔函数；

低频近似下：$$M_{r}=\frac{8}{3}\rho_{0}a^{3}$$

（3）关于最终辐射声压：

$$ p = j \omega \frac{\rho_0 u_a a^2}{2r} \left[ \frac{2 J_1(ka \sin\theta)}{ka \sin\theta} \right] e^{j(\omega t – kr)}, \quad \text{其中 } u_a \text{ 为振动速度幅度，} J_1 \text{ 为 1 阶贝塞尔函数。} $$

$$ 指向性：D(\theta) = \frac{(p_a)_\theta}{(p_a)_0} = \left| \frac{2 J_1(ka \sin\theta)}{ka \sin\theta} \right|, \quad \theta = 0 \text{ 时，} D(\theta) = 1. $$