一个屁股的卷积

假如你狠狠地打了某王姓男子的屁股一巴掌，他的屁股就会肿。

但屁股不会一直肿着，随着时间推移，肿会逐渐消退，直至恢复如初。如果把”肿胀程度”随时间的变化画成一条曲线，它看起来大概是这样：

在挨打的瞬间，肿胀程度迅速飙到最高，然后随着时间慢慢消退。这条曲线完整地描述了这个屁股被打一下之后的全部反应过程，什么时候最肿、肿多高、消退得多快。

不同的屁股有不同的被打（冲击）响应：有的皮厚肉多，肿得慢消得也慢；有的娇嫩敏感，一打就肿但恢复很快。知道了一个屁股的冲击响应，至少在信号上你就完全了解了这个屁股。想完全了解一个屁股，应该从它的响应开始。

再次挨打

到目前为止，事情还很简单，打一下、肿一下、然后消退。

做一个合理的假设：每一巴掌造成的肿胀是独立的，可以叠加。也就是说，先前挨的那一巴掌不会改变屁股对下一巴掌的反应方式，无论是第一下还是第一百下，同样力度打下去，产生的曲线形状完全一样，并且肿胀之间互不干扰，只是简单地叠加在一起。

那么可以得到两个巴掌叠加的图像：

图中蓝色虚线是第一个巴掌单独造成的肿胀轨迹，橙色虚线是第二个巴掌单独造成的肿胀轨迹。第二个巴掌落下的时候，第一个巴掌造成的肿还剩大约 1.1。根据之前的假设，屁股实际肿的程度（红色实线）在第二掌落下的瞬间，在当时的肿胀程度是 1.1 再加上第二次巴掌的贡献 3.0，也就是 4.1。

不同力度挨打

现实中不可能每次都保持相同的力度打屁股。如果第一次用了 3 分力，第二次只是轻轻拍了一下（0.5 分力），第三次又狠狠来了一记（4 分力），假设这个屁股受击打时增加的肿胀程度和力度相同，可以得到以下的图像：

逻辑还是一样。力度大的那一掌，肿胀曲线就高；轻拍的那一下，曲线就矮得几乎贴地，上图中第二掌的橙色虚线就是如此。每个巴掌引起的曲线形状由屁股的体质决定，而对于同样的屁股，高度由那一掌的力度等比例缩放。

任意时刻的总肿胀，等于此前每一掌在该时刻的剩余肿胀之和。例如 t=6 时，第一掌的肿胀已经衰减得差不多，第二掌本来就没怎么肿，而第三掌刚打不久还很肿，三者的剩余肿胀加在一起，就得到 t=6 时的惊人大屁股。

如果打得又快又密，每一下力度还不一样，有轻有重、有快有慢会怎样？

原理完全相同，只是巴掌多了、密了而已。而屁股在任意时刻的实际肿胀，依然是把所有巴掌各自剩余的肿胀在该时刻的值加起来。

图像展示的就是这个场景。上图是输入，一连串力度不同的巴掌，中间打得最狠，两头比较轻。下图是屁股肿胀程度，所有巴掌各自造成的肿胀（灰色虚线）叠加在一起，形成了一条总肿胀曲线（红色实线）。

某一时刻，屁股到底有多肿

有时候我们确实需要分析任意时刻屁股有多肿。回忆之前，任意时刻的总肿胀，等于此前每一掌在该时刻的剩余肿胀之和。

选定 t=8 ，现在不看某一次巴掌，而是带入屁股的视角。刚才的巴掌（例如 t=7 ）还历历在目，几乎所有的肿痛都是它带来的，而越往前的时间（例如 t=4，t=1），那些巴掌的带来的肿痛就衰减比例越多，他们的贡献就越小。

这是两种完全不同的视角：

• 之前的视角：
  选定一巴掌，跟着它从头走到尾，看它带来的肿如何随时间衰减。
• 现在的视角：
  选定一个时刻，回头扫视所有曾经时刻的巴掌，问每一掌现在还剩多少比例。

左图是文章开头的衰减曲线，跟着一巴掌往后看，刚打完最肿，越往后越消退。右图是所有时刻巴掌的贡献曲线，站在“现在”屁股的角度往回看，越近的巴掌贡献越大，越久远的巴掌贡献越小。同一条曲线，因为看的角度不同，所以翻了过来。

注意当前时刻 t 之后的贡献 h(t−τ) 为0，因为在当前屁股的视角，虽然未来也可能挨巴掌，但它们还没有发生。屁股可能会因为知道要挨打而自己撅起来，但不会因为还没挨到的巴掌而自己肿起来。

有了贡献曲线，计算某一时刻的总肿胀就很直接了。每一个巴掌对此刻的贡献 = 力度 × 贡献比例。力度是当时打了多重，贡献比例从右图读出。把所有巴掌的贡献求和：

  x(τ_i​) 是第 i 个巴掌的力i度，h(t−τ_i​)  是这个巴掌对时刻 t 的贡献比例。当巴掌足够密集，密到可以视为连续击打时，求和自然变成积分：

可以放心地将积分上下限写成 -∞ 到 +∞ ，因为在第一次挨打之前，屁股都没有受力，x(τ) 为 0。而前文已经说过在 t 之后的时刻，h(t−τ) 为 0，公式计算的依旧是 t 之前真正挨的打。设置上下限之后，可以得到以下经常能遇见的卷积公式：

其中：

公式符号	打屁股的含义
x(τ)	在 τ 时刻打的那一巴掌的力度
h(t−τ)	那一巴掌到时刻 t 为止影响剩余比例（消肿曲线在 t−τ 处的值）
x(τ)·h(t−τ)	那一巴掌对时刻 t 的肿胀贡献
∫	把所有巴掌的贡献加起来
y(t)	时刻 t 屁股的实际肿胀程度