声全息技术的原理及应用:近场声场测量与远场指向性重建方法

声全息技术：理论基础

声全息技术通过球面波展开等物理模型，从近场测量数据中重建完整的远场指向性信息，有效克服了传统远场测量对消声室尺寸要求高、环境敏感、扫描耗时等实际工程难题。该技术不仅适用于扬声器系统的声学表征，更为拟人机器人、智能音箱、车载音响等紧凑型发声系统的声学设计与优化提供了强有力的工具——通过回溯近场的声压与质点速度分布，工程师能够精准识别声源辐射特性、衍射效应及结构遮挡影响，从而指导声学结构的迭代改进。

苏州东原电子有限公司长期专注于 👉工业隔音降噪工程解决方案👈 ，致力于设备与厂房噪声治理。我们将声全息测量与近场声场重建技术融入声学工程服务，为客户提供：

声源定位与辐射特性分析：利用近场扫描与全息重建，精准识别设备噪声源位置、指向性特征及频谱分布；

扬声器与发声系统性能评估：针对条形音箱、智能音箱、车载扬声器及机器人发声模块，提供近场高精度声场测量与远场指向性预测；

声学结构优化验证：通过对比不同声腔设计、安装位置及吸隔声处理前后的近场声压/质点速度分布，指导结构改进方案；

消声室替代测量方案：对于不具备大型消声室条件的企业，提供基于近场全息技术的等效远场声学测试服务。

从材料选择、结构设计、声场模拟到施工建议，我们提供一站式声学环境优化服务，可满足消声室、影音房、吸声板设计、扬声器声学测试及工业噪声源识别等多样场景的隔音、吸声与检测需求。苏州东原电子愿与科研机构及产业伙伴携手，将声全息前沿技术转化为驱动声学产品研发与噪声精准治理的可靠工程工具。

扬声器系统的声学输出通常在消声条件下于远场中测量。传统做法是在远场 ( r>r_far(f) ) 中，使用以参考点 r_ref为原点的球坐标系来描述声压分布。此时声压幅值随距离 r 反比衰减，声压与质点速度同相，整个三维声场可简化为球面上仅依赖纬度角 θ 和方位角 φ 的二维指向性图样。

然而，远场测量面临一系列实际困难：

测量距离大：远场最小距离 r_far 必须同时满足 r_far>d，r_far>λ 以及 r_far/d>d/λ（其中 d 为扬声器最大尺寸，λ 为波长）。对于线阵列、条形音箱等大型扬声器，这一距离往往超过 5 m，对消声室的尺寸和低频吸声能力提出了很高要求。
环境敏感：较长传播路径上的温度不均匀会严重影响高频相位精度——例如距离 5 m、温差仅 2 K 时，对于 5 kHz 信号即可产生约 90° 相位误差。
扫描耗时：若以 1° 角分辨率对全球面采样，需要 64,800 个测量点。实际中必须降低分辨率以控制时间，但这可能导致空间混叠，使旁瓣和零点无法被检测。而且，在指向性图样未知的情况下，这种精度损失在后处理中无法被补偿。

声全息技术的原理及应用：扬声器的全息测量

这些局限促使人们转向近场测量。在声源近场中，直达声占绝对主导，信噪比显著提高，空气温湿度的影响也可忽略不计。代价是近场声场结构更为复杂，声压与质点速度不再同相，幅值也不再简单地按 1/r 衰减。在这种情况下需要通过全息后处理，基于球面波展开等物理模型，从近场测量数据中重建完整的远场指向性信息。

同样的测量需求也出现在拟人机器人的发声系统设计中。为了使机器人具备自然的语音交互能力，其头部通常集成了扬声器单元、声腔结构乃至模拟人类声道的共鸣腔体。这类发声系统的尺寸紧凑、几何不规则，且安装位置受机器人外形的严格约束，扬声器可能被嵌入口部、面颊甚至颈部，辐射路径上的遮挡和衍射效应显著。传统远场测量对于这类系统尤其不适用：一方面，机器人头部的等效辐射孔径虽然不大，但其复杂的近场散射结构使得远场条件仍需较大距离才能满足；另一方面，发声系统的设计优化往往需要了解口部附近的声场细节（例如不同声道构型对指向性的影响），而这些近场信息在远场测量中已经丢失。全息近场测量技术为此提供了一条有效路径：通过在机器人头部周围的近场球面上采集数据，借助球面波展开重建完整的三维声场，既能获得远场指向性，又能回溯近场的声压与质点速度分布，为发声系统的声学设计与优化提供更全面的物理依据。

本文介绍这种全息近场测量技术的理论基础与实践方法。

理论基础

亥姆霍兹方程

由牛顿定律、质量守恒、绝热过程可以得到以下声压的波动方程：

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\[ \nabla^ {2} p – \frac {1}{c _ {0} ^ {2}} \frac {\partial^ {2} p}{\partial t ^ {2}} = 0 \tag{1} \\ 其中 p=p(\mathbf{r}, t) 是声压（对平衡态的偏差）， \mathbf{r} 为参考点坐标， c_0 是声速， t 是时间。 \]

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\[ 通常的做法是通过单频假设 p(\mathbf{r}, t)=P(\mathbf{r}) e^{j \omega t} 得到亥姆霍兹方程，但笔者认为使用傅立叶变换更为自然。由傅立叶变换的性质， \frac{\partial }{\partial t} \rightarrow i\omega ， \frac{\partial^2}{\partial t^2} \rightarrow -\omega^2 ， p \rightarrow \hat{P} ，得到： \\ \nabla^{2} \hat{P} + k^{2} \hat{P} = 0 \tag{2} \\ 其中 \hat{P} = \hat{P}(\mathbf{r}, \omega) 是声压 p(\mathbf{r}, t) 的时间傅立叶变换，即频域声压； k = \omega / c_0 是波数，单位为 rad/m ； \omega = 2\pi f 是角频率。 \]

(2)式为亥姆霍兹方程，即波动方程在频域中的等价形式。它将时域中的偏微分方程化为仅关于空间坐标的方程，每个频率分量独立求解。可以固定一个频率得到比较常见的单频亥姆霍兹方程形式：

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\[ \nabla^{2} P + k^{2} P = 0 \tag{3} \]

其中 P=P(r) ，是固定频率 f 下的复声压幅值（包含幅度与相位信息）。

球坐标下的分离变量求解

在球坐标 ( r,θ,ϕ ) 下，拉普拉斯算子为：

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\[ \nabla^2 P = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}!\left(r^2 \frac{\partial P}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}!\left(\sin\theta \frac{\partial P}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2 P}{\partial \phi^2} \tag{4} \]

代入亥姆霍兹方程 (3)：

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\[ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}!\left(r^2 \frac{\partial P}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}!\left(\sin\theta \frac{\partial P}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2 P}{\partial \phi^2} + k^2 P = 0 \tag{5} \]

第一次分离：径向和角向

设 P(r,θ,ϕ)=R(r)⋅Θ(θ)⋅Φ(ϕ)，代入 (5) 式，两边同除以 RΘΦ 并乘以 r² ：

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\[ \underbrace{\frac{1}{R}\frac{d}{dr}!\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) + k^2 r^2}{\text{径向部分}} + \underbrace{\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\Phi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}}{\text{角向部分}} = 0 \tag{6} \]

径向部分仅依赖 r ，角向部分仅依赖 ( θ,ϕ )，两者之和为零且自变量独立，因此其等于常数。令分离常数为 n(n+1) ，得到：

径向方程：

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\[ \frac{d}{dr}!\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) + \left[k^2 r^2 – n(n+1)\right] R = 0 \tag{7} \]

角向方程：

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\[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{\Phi\,d\phi^2} + n(n+1)\,\Theta = 0 \tag{8} \]

第二次分离：θ 和 ϕ

对角向方程 (8) 再乘以 sin²θ 并分离，令 ϕ 部分的分离常数为 m² ：

方位角方程：

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\[ \frac{d^2 \Phi}{d\phi^2} + m^2 \Phi = 0 \tag{9} \]

天顶角方程（连带 Legendre 方程）：

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\[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left[n(n+1) – \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta = 0 \tag{10} \]

至此，原来的三维偏微分方程被完全分离为三个常微分方程 (7)(9)(10)，下面逐一求解。

方程的解

径向方程：球 Hankel 函数

对方程 (7) 做变量替换 ρ=kr，并令 R(r)=Z(ρ)/ρ 可化为半整数阶 Bessel 方程：

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\[ \rho^2 \frac{d^2 Z}{d\rho^2} + \rho \frac{dZ}{d\rho} + \left[\rho^2 – \left(n+\tfrac{1}{2}\right)^2\right] Z = 0 \tag{11} \]

两个线性无关解为半整数阶第一类 Bessel 函数J_n+1/2(ρ) 和第二类 Bessel 函数 Y_n+1/2(ρ)（也称为 Neumann 函数）。回到原变量，定义球 Bessel 函数和球 Neumann 函数：

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\[ j_n(\rho) = \sqrt{\frac{\pi}{2\rho}}\,J_{n+1/2}(\rho), \qquad y_n(\rho) = \sqrt{\frac{\pi}{2\rho}}\,Y_{n+1/2}(\rho) \tag{12} \]

因此径向方程的一般解为：

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\[ R(r) = A\, j_n(kr) + B\, y_n(kr) \tag{13} \]

其中 A, B 为任意常数。但 j_n 和 y_n 本身都描述驻波，而扬声器向外辐射能量，需要的是向外传播的行波。为此，考察 j_n 和 y_n 在远场（ ρ=kr≫1）的渐近行为：

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\[ j_n(\rho) \approx \frac{1}{\rho}\cos!\left(\rho – \frac{(n+1)\pi}{2}\right), \qquad y_n(\rho) \approx \frac{1}{\rho}\sin!\left(\rho – \frac{(n+1)\pi}{2}\right) \tag{14} \]

它们在远场就是带 1/ρ 衰减的 cos 和 sin 。要从中凑出向外传播的行波 e^−jρ，利用 Euler 公式 e^−jα= cos α − j sin α，令 α=ρ−(n+1)π/2：

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\[ j_n – j\,y_n \approx \frac{1}{\rho}\left[\cos\alpha – j\sin\alpha\right] = \frac{e^{-j\alpha}}{\rho} = \frac{j^{n+1}\,e^{-j\rho}}{\rho} \tag{15} \]

因此固定j_n 的系数为1，y_n的系数为 -j 可以在远场得到向外传播的行波。定义两个球 Hankel 函数：

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\[ h_n^{(1)} = j_n + j\,y_n \approx \frac{j^{-(n+1)}\,e^{+j\rho}}{\rho} \quad \text{（向内汇聚的球面波）} \tag{16a} \]

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\[ h_n^{(2)} = j_n – j\,y_n \approx \frac{j^{n+1}\,e^{-j\rho}}{\rho} \quad \text{（向外发散的球面波）} \tag{16b} \]

扬声器向外辐射声波，根据式 15，只保留向外发散的 h_n⁽²⁾：

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\[ \boxed{R_n(r) = h_n^{(2)}(kr) = j_n(kr) – j\, y_n(kr)} \tag{17} \]

[!tip] 第一类 vs 第二类取决于时间约定
上述推导基于本文的 e^jωt 约定，此时 h_n⁽²⁾∼e^−jkr/kr 对应向外行波。若采用 e^−jωt约定，则应选择 h_n⁽¹⁾。

角向方程：球谐函数

方程 (9) 的通解为 Φ_m(ϕ)=e^jmϕ 。周期性边界条件 Φ(ϕ+2π)=Φ(ϕ) 要求 m 必须为整数：m=0，±1，±2，…

对方程（10）做变量替换 x=cosθ，化为标准的连带 Legendre 方程：

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\[ \frac{d}{dx}!\left[(1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right] + \left[n(n+1) – \frac{m^2}{1-x^2}\right]\Theta = 0 \tag{18} \]

在 x∈[−1,1]（即 θ∈[0,π]）上有界的解为连带 Legendre 函数 P_n^m( cosθ )，存在条件为：

n=0，1，2，…（阶数，非负整数）
∣m∣≤n（子阶受阶数约束）

角向部分的完整解为 Θ 和 Φ 的乘积 P_n^m(cosθ)·e^jmϕ 。为简化记号并使不同模式满足正交归一关系，乘以归一化系数，记为球谐函数：

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\[ Y_n^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2n+1)}{4\pi}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}\; P_n^m(\cos\theta)\; e^{jm\phi} \tag{19} \]

合并：球面波展开（通解）

将径向解 h_n⁽²⁾(kr) 与角向解 Y_n^m(θ,ϕ) 相乘，即得到一个满足亥姆霍兹方程的基解。对所有允许的 (n, m) 求和，通解为：

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\[ \boxed{P(r, \theta, \phi) = \sum_{n=0}^{N}\sum_{m=-n}^{n} C_{mn}\; h_n^{(2)}(kr)\; Y_n^m(\theta, \phi)} \tag{20} \]

每一项 (n, m) 对应一个独立的球面波辐射模式， C_mn 为该模式的复振幅的待定系数。

直接使用 Kirchhoff-Helmholtz 积分公式，并将其中的格林函数部分展开为球谐函数级数表示可直接得到式(20)。

两个基函数的性质

球谐函数 Y_n^m(θ，ϕ) 的性质

球谐函数描述声场的角向分布，即”哪个方向辐射了多少声能”。

正交归一性： 不同模式在球面上严格正交：

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\[ \int_0^{2\pi}!!\int_0^{\pi} Y_n^m\; \overline{Y_{n’}^{m’}}\;\sin\theta\,d\theta\,d\phi = \delta_{nn’}\delta_{mm’} \tag{21} \]

直接物理推论是 Parseval 定理——总辐射声功率可以直接由系数模方求和得到：Π∝∑∣Cmn∣²，而无需进行空间积分。

完备性： 球面上任意平方可积函数都可以展开为 Y_n^m 的无穷级数。在实际中将级数截断到有限阶 N ，截断精度取决于声场的空间复杂度。

对称性：

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\[ Y_n^{-m} = (-1)^m \overline{Y_n^m} \]

这意味着正、负子阶的系数之间存在共轭关系，是利用扬声器几何对称性减少未知参数数量的数学基础。

上述性质和傅立叶基相同。实际上傅立叶基就是一维球面（平面圆）上的球谐函数。反过来球谐函数是傅立叶基在球面上的自然推广，或者是球坐标基函数。

阶数与辐射模式的对应：

阶数 n	模式	角向特征
0	单极子	全向辐射，无角度依赖
1	偶极子	一个方向上的”8 字形”
2	四极子	更复杂的瓣状图样
n 更高	高阶多极子	空间细节越丰富，瓣数越多

子阶 m 控制方位角 φ 方向上的振荡快慢： |m| 越大，沿 φ 方向的”花瓣”越多。

下图展示了不同 (n, m) 组合对应的球谐函数三维形状。每个图形的表面到原点的距离代表 |Y_n^m| 在该方向上的大小，红色表示正值、蓝色表示负值。可以清楚看到： n=0 是一个均匀的球（全向辐射）；n 增大后出现更多”花瓣”（空间细节更丰富）；m 增大后花瓣沿水平方向（方位角 φ）排列得更密。

球 Hankel 函数 h_n⁽²⁾(kr) 的性质

球 Hankel 函数描述声场的径向传播行为，即”声波如何随距离衰减和传播”。

远场渐近（ kr≫1 ）：

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\[ h_n^{(2)}(kr) \approx j^{\,n+1}\,\frac{e^{-jkr}}{kr} \tag{22} \]

所有阶数都退化为 e^−jkr/kr 的形式（仅有相位因子 jⁿ⁺¹ 不同）。这意味着在远场中，径向依赖性完全相同，声场特征仅由角向分布决定——这正是传统远场指向性测量的物理基础。

近场渐近（ kr≪1 ）：

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\[ h_n^{(2)}(kr) \approx j\,\frac{(2n-1)!!}{(kr)^{n+1}} \tag{23} \]

高阶项的幅值按 (kr)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾急剧增大。这解释了两个关键现象：

近场声场结构远比远场复杂，高阶模式的贡献不可忽略；
近场测量天然地”放大”了高阶信息，这正是近场全息能够以较少测量点获得高角分辨率的物理原因。

**n=0 特例（单极子）：

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\[ h_0^{(2)}(kr) = j\,\frac{e^{-jkr}}{kr} \tag{24} \]

这是最简单的球面波——在所有距离上都精确地按 1/r 衰减、以 e^-jkr 传播。单极子的质点速度与声压始终同相，因此其视在功率等于真实辐射功率，不随距离变化。

递推关系：

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\[ h_{n-1}^{(2)} + h_{n+1}^{(2)} = \frac{2n+1}{kr}\,h_n^{(2)} \tag{25} \]

数值计算时，利用递推关系可以从低阶函数逐步得到高阶函数，避免直接计算阶乘和高次幂带来的数值不稳定。

下图展示了不同阶数 n 的球 Hankel 函数幅值随无量纲距离 kr 的变化。左图为 ∣h_n⁽²⁾(kr)∣：在近场（ kr < 1 ）高阶项急剧增大，阶数越高增长越剧烈，这就是近场测量能”放大”高阶信息的原因；在远场（ kr≫1 ）所有阶的幅值都趋向 1/kr，变得无法区分，这解释了为什么远场指向性只由角向分布决定。右图将幅值乘以 kr ，使远场渐近线变为水平线 1，更直观地展示了所有阶在远场的收敛行为。

下面的动图展示了 n=0，1，3 三个阶的球 Hankel 函数实部随时间的振荡过程（即 Re[h_n⁽²⁾(kr)·e^jωt] ），虚线为幅值包络。可以看到波从左（近场）向右（远场）传播，近场处高阶项的振荡幅度远大于远场：

本文目前介绍了声全息测量的理论基础，下一篇将介绍算法与实践。

声全息技术：理论基础