多孔材料声学测试方法:传递函数法如何测量阻抗与传播常数

这是一篇针对 Hideo Utsuno 等人于 1989 年发表在《美国声学学会会刊》（J. A. S. A.）上的经典文献《测量多孔材料特征阻抗与传播常数的传递函数法》（Transfer function method for measuring characteristic impedance and propagation constant of porous materials）的深度学术解读。本文系统梳理了该文献的研究背景、核心理论推演（改进的两腔体法）、实验验证机制以及研究结论，旨在为从事声学材料测试、噪声控制及声学超材料研发的科研人员提供详实、严谨的参考。

一、研究背景与核心科学问题

在噪声控制工程中，多孔材料（如玻璃棉、聚氨酯泡沫、多孔金属及陶瓷等）被广泛用于声波衰减。评估这些材料声学性能的最基础指标是“吸声系数（Sound absorption coefficient）”与“表面声阻抗（Surface acoustic impedance）”。随着双传声器传递函数法（Transfer function method）的普及，利用宽带随机噪声信号在极短时间内获取宽频带的吸声系数已成为现实。

然而，仅仅获得吸声系数和表面阻抗不足以全面、本质地刻画多孔材料的声学特性。原因在于：

边界依赖性：表面阻抗和吸声系数是材料自身厚度及其背后边界条件（如空气腔深度、刚性背板）的函数。它们是系统的“宏观表象”，而非材料的“内禀属性”。
非局部反应特性（Non-locally reacting）：声波在多孔材料内部是以介质波的形式传播的，这意味着材料不能被简单地假设为局部反应表面。为了在任意厚度和任意安装条件下预测材料的声学表现，必须将其视为一种等效的流体介质，进而获取其两个核心的宏观内禀物理量：特征阻抗（Characteristic impedance, Z_c）与传播常数（Propagation constant, γ）。

早期获取这两个参数的方法存在显著局限。例如，基于第一性原理的 Zwikker-Kosten 理论需要测量流阻、结构因子等非声学参数；Scott 的直接测量法需要极厚的材料以消除反射；而 Yaniv 提出的传统“两腔体法（Two-cavity method）”虽然可以通过改变材料背后的声学边界来求解，但它严苛地要求背部阻抗必须分别为无穷大（刚性背板）和零（四分之一波长空气腔）。由于四分之一波长随频率不断变化，研究人员必须在每个测试频点手动调整背腔深度，这使得该方法极其繁琐，根本无法与高效的宽带传递函数法相结合。

本文的核心科学目标即在于：从数学和物理框架上打破传统“两腔体法”对特定背部阻抗（0和无穷大）的束缚，推导出一套适用于任意空气腔深度的新公式，从而将宽带传递函数法的极高测试效率无缝引入到材料内禀参数（ Z_c 和 γ ）的测量中。

二、理论框架构建：改进的两腔体法

为了实现上述目标，作者构建了一个单层均匀多孔材料与背部空气腔相耦合的一维声波传播模型。

1. 基础阻抗传递方程

考虑一层厚度为 d 的均匀多孔材料，其特征阻抗为 Z_c，传播常数为 γ 。材料前表面（参考面）的声阻抗记为 Z₀，材料背部的声阻抗记为 Z₁。根据一维声波在介质中的传播理论，前表面阻抗 Z₀ 可由以下方程表达：

使用MathJax渲染数学公式

\[ Z_0 = Z_c \frac{Z_1 \cosh(\gamma d) + Z_c \sinh(\gamma d)}{Z_1 \sinh(\gamma d) + Z_c \cosh(\gamma d)} \]

对该方程进行代数变换，可以分离出包含指数项的等式：

使用MathJax渲染数学公式

\[ \frac{Z_0 + Z_c}{Z_0 – Z_c} \cdot \frac{Z_1 – Z_c}{Z_1 + Z_c} = \exp(2\gamma d) \]

Block diagram of the impedance tube and accessory equipment.

2. 任意双边界条件的引入与求解

上述等式右侧仅为材料厚度 d 和传播常数 γ 的函数。这意味着，对于同一块物理材料，无论其背部阻抗 Z₁ 如何改变，等式右侧恒定不变。基于这一对称不变性，作者提出：如果在系统后方设置两个任意但已知的空气腔深度 L 和 L’，它们将对应产生两个不同的背部理论阻抗 Z₁ 和 Z_1′，此时通过阻抗管在前端分别测得两次表面阻抗 Z₀ 和 Z_0′，便可建立方程组：

使用MathJax渲染数学公式

\[ \frac{Z_0 + Z_c}{Z_0 – Z_c} \cdot \frac{Z_1 – Z_c}{Z_1 + Z_c} = \frac{Z_0′ + Z_c}{Z_0′ – Z_c} \cdot \frac{Z_1′ – Z_c}{Z_1′ + Z_c} \]

通过联立解方程，可以得到特征阻抗 Z_c 和传播常数 γ 的显式解析解：

使用MathJax渲染数学公式

\[ Z_c = \pm \left( \frac{Z_0 Z_0′ (Z_1 – Z_1′) – Z_1 Z_1′ (Z_0 – Z_0′)}{(Z_1 – Z_1′) – (Z_0 – Z_0′)} \right)^{1/2} \]

使用MathJax渲染数学公式

\[ \gamma = \frac{1}{2jd} \ln\left( \frac{Z_0 + Z_c}{Z_0 – Z_c} \cdot \frac{Z_1 – Z_c}{Z_1 + Z_c} \right) \]

其中，背部空气腔产生的阻抗可视为理想闭管声阻抗，由纯声学公式严格计算：

使用MathJax渲染数学公式

\[ Z_1 = -jZ_{air}\cot(kL)$，以及 $Z_1′ = -jZ_{air}\cot(kL’) \]

理论突破的意义：公式的推导并未假定 Z₁ 必须为 0 或无穷大。这就意味着，实验人员只需使用带有可移动活塞的驻波管，设定两个固定的深度 L 和 L’，利用宽带随机噪声激发系统，测量两次传递函数即可一次性解算出全频段的 Z_c 和 γ。相比于改变材料厚度的“双厚度法”，本方法无需反复拆装测试样品，彻底消除了由于材料边缘安装泄漏或样品间不均一性引入的系统误差。

三、实验系统设计与材料测试

为验证理论，研究团队搭建了一套高精度的实验装置：

硬件系统：一根内径 87.5 mm、长 1 m 的阻抗管，末端由扬声器驱动，另一端配备可滑动调节背腔深度 L 的黄铜活塞。阻抗管上布置了双麦克风阵列（间距可设为70 mm或300 mm，以适应不同的频率范围），通过双通道快速傅里叶变换（FFT）分析仪计算麦克风之间的传递函数 H，并反演出前表面阻抗 Z₀。
测试样品：选用了两类具有代表性的多孔材料：一种是传统的玻璃棉（Glass wool，厚度50 mm，密度30 kg/m³）；另一种是当时新研发的高强度吸声材料——多孔铝（Porous aluminum，厚度20 mm，密度250 kg/m³）。

实验中，为了评估不同腔体深度组合对测试结果稳定性的影响，作者为两组材料分别设置了多达6种不同的空腔深度组合（如 20 mm 与 40 mm 组合，20 mm 与 100 mm 组合等），并独立提取内禀参数进行比对。

四、核心发现与交叉验证

1. 测量数据的普适性与“奇异点（Singularities）”规律

实验结果表明，从多种不同空腔深度组合（如 (L, L’) = (20, 40), (20, 70), (40, 100) 等）中解析出的复数特征阻抗和复数传播常数曲线高度一致。这有力证明了提取出的 Z_c 和 γ 真正脱离了边界条件的影响，属于材料自身的宏观声学参数。

然而，文章也指出了该方法的一个关键物理限制（奇异点问题）：当背腔深度的差值 (L – L’) 恰好等于半波长的整数倍时，即满足频率条件 f(L – L’) = nc/2 （其中 n=1,2,3…，c 为声速）时，系统会出现计算发散和巨大误差。
其物理本质在于：当满足该方程时，阻抗方程中的 Z₁ 将完全等于 Z_1′。此时，两个独立的边界条件退化为同一个边界条件，方程组的秩减小，导致 (Z₁ – Z_1′) 项趋近于零，公式由于分母为零而无法求解。因此，在实验设计阶段，科研人员必须合理挑选 L 和 L’ 的组合，以确保测试关注的频带范围内不会触发上述奇异性方程。

2. 多维度理论交叉验证（Cross-Verification）

为了终极证实改进两腔体法的准确性与实用价值，作者进行了一项极其严密的闭环验证工作：
如果测得的 Z_c 和 γ 是准确的内禀属性，那么将其代回基础声学方程，理应能够精准预测该材料在任何未测试的厚度以及任何未测试的安装边界下的表现。

预测任意空腔深度的吸声表现：作者利用基于 (d = 50 mm, (L, L’) = (20, 70 mm)) 提取的玻璃棉 Z_c 和 γ，理论预测了该材料在背腔深度为 0, 40, 100, 150 mm 时的吸声系数和表面阻抗。预测曲线与通过传递函数法直接实测的曲线（独立实验）实现了堪称完美的重合。对于多孔铝材料同样进行了类似验证（基于 d=20mm 参数预测），结果依然高度吻合。
预测任意材料厚度的吸声表现：进一步地，作者保持背腔条件为刚性壁（L=0），基于之前 50 mm（玻璃棉）或 20 mm（多孔铝）样品提取出的内禀参数，成功预测了 25 mm、75 mm、125 mm 厚的玻璃棉，以及 10 mm、30 mm、40 mm 厚的多孔铝的吸声系数。预测结果与独立实测数据的卓越一致性，彻底证实了该表征体系的鲁棒性。

五、研究亮点与主要结论

综上所述，Utsuno 等人的这项研究在声学材料表征领域做出了里程碑式的理论拓展。其研究亮点与核心结论可归纳如下：

理论公式的普适化与降维：成功克服了传统两腔体法对四分之一波长（零阻抗）的严苛要求。新的公式允许在任意给定的空气腔深度下开展测量，这在数学上是对原有边界条件的极大解放。
测试效率与精度的革命性跃升：通过将新的任意阻抗边界公式与宽带双麦克风传递函数法相结合，研究人员只需在两个固定的活塞位置下施加宽带随机噪声，即可在几分钟内获取全频段的高分辨率材料内禀参数。同时，同一块样品原位测试避免了“双厚度法”中样品拆装带来的密封泄漏和均一性误差。
系统性地提出了误差规避准则：明确提出了导致计算失效的“奇异点频率”方程 f(L – L’) = nc/2，为后续标准化工程测试提供了关键的实验设计参数选择依据（即如何避开半波长共振现象）。
验证了多孔介质“等效流体”假设的可靠性：文章通过完美的厚度预测和空腔预测验证，确凿地证明了对于玻璃棉和多孔铝这类材料，通过 Z_c 和 γ 表征其宏观声学行为是极其精确和有效的。这为现代计算声学（如有限元方法 FEM 建立流体等效介质模型）提供了极为重要的输入参数获取途径。

总而言之，这篇文献以严密的逻辑和完美的实验闭环，确立了一种可靠、高效且适用于宽频带的多孔材料声学参数测量标准。该方法不仅丰富了学术界的声学测量手段，更为工业界（如汽车 NVH 材料设计、航空声学衬套开发、建筑吸声结构优化等）在设计阶段精准预测材料在复杂装配边界下的吸声能力，提供了一套至今仍在广泛使用的强有力工具。苏州东原电子推出的声学材料测试系统方案，基于成熟的传递函数法原理，能够实现多孔材料吸声性能及声学参数的高精度测量，广泛适用于科研机构与工业企业的声学测试需求，为声学材料研发与工程应用提供坚实的数据支撑。

H. Utsuno, T. Tanaka, T. Fujikawa, and A. F. Seybert, “Transfer function method for measuring characteristic impedance and propagation constant of porous materials,” J. Acoust. Soc. Am., vol. 86, no. 2, pp. 637-643, Aug. 1989